Zhang & Zhang (2008) 给出了均值回归资产"买低卖高"的最优阈值规则，但假设均衡水平恒定不变。Nguyen, Tie & Zhang (2014) 把均衡水平改成随机跳跃一次——价格呈现"台阶"形态：先围绕旧均衡震荡，跳跃后围绕新均衡震荡。用拟变分不等式刻画值函数，求出买卖阈值的闭式解。这是把经典结论推广到更贴近现实的市场形态。
原文：Nguyen, D., Tie, J. & Zhang, Q., "An Optimal Trading Rule Under a Switchable Mean-Reversion Model", Journal of Optimization Theory and Applications 161 (2014), 145–163. DOI 官方链接
背景：均值回归是金融和能源市场最常用的价格模型之一——价格总有向"均衡水平"回归的倾向。但经典模型假设均衡水平是常数，现实中均衡会跳：财报、政策、行业逻辑变化，都会让资产的"中枢"上一个台阶或下一个台阶。
本文的模型：对数价格 $X_t = \log S_t$ 服从均值回归，但均衡 $b(\alpha_t)$ 会随机跳跃一次——跳跃前均衡为 $b_1$，在指数分布时刻 $\tau_0 \sim Exp(\lambda)$ 跳到 $b_2$，之后不再跳。论文的数值例子（$b_1 = 1$、$b_2 = 2$、跳跃发生在 $t = 100$）画出的样本路径，正是教科书式的"台阶"：前100期围绕1波动，后100期围绕2波动。
目标：选择一列买卖停时 $\tau_1 \le \sigma_1 \le \tau_2 \le \sigma_2 \le \cdots$（买入、卖出、买入、卖出……），最大化贴现收益。每次交易有滑点成本 $K$（买入按 $(1+K)$ 付、卖出按 $(1-K)$ 收），每次至多买卖1股。两个初始仓位分别记值函数 $V_0$（空仓，先买后卖）、$V_1$（持仓，先卖后买）。
方法论：动态规划 → HJB方程（拟变分不等式）→ 求解 → smooth-fit定阈值 → 验证定理确认最优性。这是 Zhang 学派做最优交易问题的标准四步。
1. 价格模型（可切换均值回归）
$$ dX_t = a(b(\alpha_t) - X_t)dt + \sigma dW_t, \quad X_0 = x $$
$a > 0$ 为回归速度，$\sigma > 0$ 为波动率，$\alpha_t \in \lbrace 1, 2 \rbrace$ 为区制：$\alpha_t = 1$（$0 \le t \le \tau_0$，均衡 $b_1$），$\alpha_t = 2$（$t \ge \tau_0$，均衡 $b_2$），$\tau_0$ 为参数 $\lambda$ 的指数分布且与 $W_t$ 独立。
2. 收益函数与值函数
$$ J_0 = E\left[\sum_{n=1}^{\infty} \left(e^{-\rho\sigma_n}S_{\sigma_n}(1-K) - e^{-\rho\tau_n}S_{\tau_n}(1+K)\right)\right] $$
$$ J_1 = E\left[e^{-\rho\sigma_1}S_{\sigma_1}(1-K) + \sum_{n=2}^{\infty}\left(e^{-\rho\sigma_n}S_{\sigma_n}(1-K) - e^{-\rho\tau_n}S_{\tau_n}(1+K)\right)\right] $$
$$ V_i(x,\alpha) = \sup_{\Lambda_i} J_i(x,\alpha,\Lambda_i), \quad i = 0, 1 $$
$\rho > 0$ 为贴现因子。$J_0$ 对应空仓开局（先买），$J_1$ 对应持仓开局（先卖）。
3. 生成元（含跳跃项）
$$ Af(x,1) = a(b_1-x)\frac{\partial f}{\partial x}(x,1) + \frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,1) + \lambda\big(f(x,2)-f(x,1)\big) $$
$$ Af(x,2) = a(b_2-x)\frac{\partial f}{\partial x}(x,2) + \frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,2) $$
注意 $\alpha = 1$ 时的生成元多出一项 $\lambda(f(x,2)-f(x,1))$——这正是"均衡可能跳跃"的数学体现：即使还没跳，跳跃的可能性本身已经进入了当前值函数的定价。
4. HJB方程（拟变分不等式组）
对 $\alpha = 1, 2$：
$$ \min\lbrace \rho v_0 - Av_0, \quad v_0 - v_1 + e^x(1+K) \rbrace = 0 $$
$$ \min\lbrace \rho v_1 - Av_1, \quad v_1 - v_0 - e^x(1-K) \rbrace = 0 $$
第一项是"继续持有"（满足微分方程），第二项是"立即行动"（买入/卖出的 payoff）。两者的较小者为零——这就是最优停时的标准刻画。
5. 解的结构
先解 $\alpha = 2$（跳跃后，不再有跳跃项，齐次方程）。记 $\kappa = \sqrt{2a}/\sigma$，$\eta_i(t)$ 为形如 $t^{\lambda_i-1}e^{-t^2/2}$ 的核函数（$\lambda_1 = \rho/a$，$\lambda_2 = (\rho+\lambda)/a$，论文(5)式），则：
$$ v_1(x,2) = C_1\int_0^{\infty} \eta_1(t)e^{-\kappa(b_2-x)t}dt, \quad v_0(x,2) = C_2\int_0^{\infty} \eta_1(t)e^{\kappa(b_2-x)t}dt $$
$C_2 = 0$ 或 $C_1 = 0$ 的取舍由有界性决定（$v_1$ 在 $-\infty$ 有界、$v_0$ 在 $+\infty$ 有界，引理3.1）。
再解 $\alpha = 1$（非齐次，含跳跃耦合项）。用Fourier变换求特解（论文Lemma 4.1），得到含核函数 $K(x,y,b)$ 的积分表示：
$$ K(x,y,b)=\int_0^1 u^{\frac{\rho+\lambda}{a}-1}(1-u^2)^{-1/2}\exp\left(-\frac{a\big[(x-b)u+(b-y)\big]^2}{2\sigma^2(1-u^2)}\right)du $$
最终 $v_0(x,1) = C_3y_3(x) + y_5(x)$，$v_1(x,1) = C_4y_4(x) + y_6(x)$，其中 $y_3, y_4$ 为齐次解积分，$y_5, y_6$ 为含核 $K$ 的特解积分。
6. 光滑粘贴 → 拟代数方程组定阈值
记 $\alpha = 1$ 时的买卖阈值（对数价格）为 $x_1 < x_2$，$\alpha = 2$ 时为 $x_3 < x_4$。在阈值处施加值函数连续 + 一阶导数连续（smooth-fit），对 $(x_3, x_4)$ 消去 $(C_1, C_2)$ 得到拟代数方程组（论文(13)式），对 $(x_1, x_2)$ 类似得（论文(14)式）。数值求解即得四组阈值。
7. 验证定理（Theorem 5.1）：最优停时
定义买入区 $D_1$（$\alpha = 1$ 时 $x \le x_1$，$\alpha = 2$ 时 $x \le x_3$）与卖出区 $D_2$（$\alpha = 1$ 时 $x \ge x_2$，$\alpha = 2$ 时 $x \ge x_4$），则最优买卖时刻为首次进入这些区域的时刻：
$$ \tau_1^ = \inf\lbrace t \ge 0 : (X_t,\alpha_t) \in D_1 \rbrace, \quad \sigma_n^ = \inf\lbrace t \ge \tau_n^* : (X_t,\alpha_t) \in D_2 \rbrace $$
在温和条件下（阈值间距大于 $\log((1+K)/(1-K))$ 等），这组停时达到值函数，即为最优。
基准参数：$a = 0.8$，$b_1 = 1$，$b_2 = 2$，$\sigma = 0.5$，$\rho = 0.5$，$K = 0.01$，$\lambda = 10$，解得：
$(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0.398, \quad 0.870, \quad 1.331, \quad 1.631)$
一个漂亮的观察：四组阈值都在各自均衡水平之下（$x_1, x_2 < b_1 = 1$；$x_3, x_4 < b_2 = 2$）——均衡是"向上的拉力"，把价格从下方托起，所以最优买卖点都埋在均衡下方。$V_0$ 一致有界，$V_1$ 随 $x$ 指数增长（持仓的价值随价格上涨而放大）。
参数敏感性（论文 Tables 1–5，单参数变动）：
| 参数变动 | 阈值变化 | 直观解释 |
|---|---|---|
| $a$ 增大（0.6→1） | 四组阈值单调上升 | 回归越快，越敢在远离均衡处动手 |
| $\rho$ 增大（0.3→0.7） | 四组阈值单调下降 | 贴现越重，越倾向快进快出、落袋为安 |
| $\sigma$ 增大（0.3→0.7） | 四组阈值单调上升 | 波动越大，买卖区间放宽 |
| $b_1$ 增大 | $(x_1,x_2)$ 上升，$(x_3,x_4)$ 不变 | 跳跃前的均衡只影响跳跃前的阈值 |
| $b_2$ 增大 | $(x_3,x_4)$ 上升，$(x_1,x_2)$ 基本不变 | 跳跃后的均衡只影响跳跃后的阈值 |
最后两行尤其值得玩味：两个区制的阈值几乎解耦——$b_1$ 动只影响 $(x_1,x_2)$，$b_2$ 动只影响 $(x_3,x_4)$。这是因为跳跃不可逆（吸收态），跳跃后的世界与跳跃前的参数无关。
论文的开放问题：多次跳跃、$\alpha$ 依赖的波动率（$\sigma = \sigma(\alpha_t)$）、不可观测的 $\alpha_t$（Wonham滤波估计 $P(\alpha_t = 1 | \text{历史价格})$）。
论文假设 $\alpha_t$ 可观测（知道自己处在哪个区制），实务中只能看到价格。落地必须配一个区制滤波器：用Wonham滤波或HMM，根据历史价格实时估计当前处于旧均衡还是新均衡的后验概率，再决定用 $(x_1,x_2)$ 还是 $(x_3,x_4)$。$\lambda$（跳跃强度）可从历史"中枢切换"频率校准。
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