这篇2013年发表于《Automatica》的论文（Song & Zhang），是配对交易"最优交易规则"系列的重要一篇。它与本站已解读的 Tie, Zhang & Zhang (2017) 出自同一团队（Qing Zhang），可以看作前传：2017年那篇去掉了均值回归假设、在GBM下求解；这篇则保留均值回归框架，并首次把止损水平作为状态约束纳入最优停时问题——"怎么亏钱时认输出局"，是实盘中最重要却最少被严格建模的一环。
原文：Song, Q. & Zhang, Q. (2013), "An optimal pairs-trading rule", Automatica, 49(10), 3007–3014. DOI官方链接
配对交易的核心问题有两个：什么时候进场（价差扩大到什么程度才值得动手），以及什么时候出场（赚钱了何时止盈、亏钱了何时止损）。前者文献很多，后者中的"止损"却很少被严格处理。
止损在实盘中有三个现实来源：
从控制论角度看，加一个止损水平 $M$ 等于给状态过程加一个状态约束（$Z_t \ge M$），这会带来实质性的数学困难——论文的主要篇幅都在处理这个问题。
模型设定：配对头寸 $Z_t = X^1_t - K_0X^2_t$（做多一只、做空另一只），服从均值回归：
$$ dZ_t = \theta(\mu - Z_t)dt + \sigma dW_t $$
每次交易收固定成本 $K$（佣金/滑点）。仓位只有"持有配对"或"空仓"两种。
1. 价值函数与边界条件
记 $V_0$（空仓）、$V_1$（持仓）为价值函数。止损水平 $M$ 给出边界条件：
$$ V_0(M) = 0, \quad V_1(M) = M - K $$
含义很直观：在止损线处，空仓者价值为零；持仓者被迫平仓，拿回 $M - K$（扣掉交易成本）。
2. HJB 方程（变分不等式）
$$ \min\lbrace \rho v_0 - Av_0,\ v_0 - v_1 + x + K \rbrace = 0 $$
$$ \min\lbrace \rho v_1 - Av_1,\ v_1 - v_0 - x + K \rbrace = 0 $$
其中 $A = \theta(\mu-x)\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$ 为 $Z_t$ 的生成元。
3. 三阈值交易规则
论文证明最优策略由三个阈值 $M < x_0 < x_1 < x_2$ 刻画：
注意 $x_0$ 的存在很有讲究：太接近止损线 $M$ 的位置不建仓——刚进去就可能被止损，白白交两次手续费。$[x_0, x_1]$ 这个"安全垫"正是状态约束带来的独特结构，没有止损的模型里不会出现。
4. 求解与约束条件
与上一篇类似，$\rho v - Av = 0$ 的通解用特殊函数 $\phi_1, \phi_2$ 表示，smooth-fit 给出关于 $(x_0, x_1, x_2)$ 的拟代数方程组（论文(17)(21)式）。阈值还需满足：
$$ x_1 \le \frac{\theta\mu - \rho K}{\rho + \theta}, \quad x_2 \ge \frac{\theta\mu + \rho K}{\rho + \theta} $$
这两条不等式把买入上限和卖出下限钉在均衡 $\mu$ 附近的一个成本调整带内：成本 $K$ 越大，买入越要保守（$x_1$ 更低）、卖出目标越高（$x_2$ 更高）。
验证定理（Theorem 7）：在上述条件下，由 $(x_0, x_1, x_2)$ 构造的停时序列最优，$v_i = V_i$。论文还指出解的存在唯一性尚未完全解决，但数值实验中从未遇到无解情形。
数值例子：用 WMT-TGT 1992–2000 年数据校准，得 $\theta = 1.0$，$\mu = 0$，$\sigma = 0.56$；取 $\rho = 0.10$，$K = 0.001$，$M = -0.2$，解得：
$$ (x_0, x_1, x_2) = (-0.142,\ -0.077,\ 0.077) $$
参数敏感性（论文 Tables 1–4）：
回测（WMT-TGT，2001–2012）：用1992–2000年校准的参数做样本外回测。初始资金10万美元，每次信号5万美元做多/5万美元做空，每笔佣金5美元：
| 方向 | 交易次数 | 期末资金 |
|---|---|---|
| 做多配对 $Z$（做多WMT/做空TGT） | 8 笔 | 126,602 美元 |
| 反向（做多 $-Z$） | 8 笔 | 114,935 美元 |
| 合计 | 16 笔 | 盈利 41,547 美元（+41.54%） |
两个方向时间不重叠、收益可叠加——与2017年那篇的结论一致。11年只做16笔，资金大部分时间闲置。
两篇是同一团队的前后工作，对比着看最有味道：
| Song & Zhang (2013) | Tie, Zhang & Zhang (2017) | |
|---|---|---|
| 价格假设 | 价差均值回归（OU） | 股价GBM，无回归假设 |
| 选股要求 | 必须找到"会回归"的配对 | 跨行业也可，选股池大得多 |
| 阈值 | 三阈值 $x_0 < x_1 < x_2$（一维价差） | 两条阈值线 $k_1, k_2$（二维价格比） |
| 止损 | 显式止损 $M$ 作为状态约束 | 无显式止损 |
| 交易方向 | 单边做多 $Z$（可对称做空 $-Z$） | 正反双向同时跑 |
| 回测 | WMT-TGT，11年+41.54% | TGT-WMT，15年+88.25% |
怎么选：如果你确信配对有坚实的均值回归基础（如AH股、ETF折溢价、产业链上下游），2013框架更实用——它有止损，仓位管理更完整；如果你想放宽选股、做跨行业相对价值，2017框架更合适，但要自己外加止损纪律。两者不是替代关系，是工具箱里的两件工具。
这是本文对实盘最大的贡献。论文用 $M = -0.2$，对应"WMT跌10%、TGT不动时亏损10%就砍"。实战中 $M$ 的设定要回答：这笔交易最多亏多少？保证金能扛多少？$x_0$ 安全垫的结论可以直接用：止损线附近不要开新仓，这是很多人用血换来的教训，这里第一次有了数学证明。