论文：Agnès Tourin, Raphael Yan, Dynamic pairs trading using the stochastic control approach, Journal of Economic Dynamics & Control 37 (2013), 1972–1981. DOI: 10.1016/j.jedc.2013.05.010。
本文把配对交易放进经典的 Merton 最优投资组合框架：投资者的组合由无风险账户和两只协整股票构成，目标是最大化固定期限终期财富的期望指数效用。论文的核心贡献是——对指数效用函数，把高维 HJB 方程约化为一维线性抛物型 PDE，从而得到最优持仓的闭式解，并用 GS/JPM 的分钟级数据做了实证演示。
传统配对交易研究（如 Gatev et al. 2006）多为经验规则：价差偏离触发开仓、回归触发平仓。Mudchanatongsuk et al. (2008) 首次用随机控制研究最优配对交易，但限制策略必须"等金额一多一空"（美元中性）。
Tourin–Yan 放松了这一限制：允许在两只股票上持有任意金额的头寸，问题成为标准的随机控制问题——在自融资约束下，选择每时每刻的两只股票持股数 $\pi^1_t, \pi^2_t$，最大化 $\mathbb{E}[U(W_T)]$，其中取指数效用 $U(w) = -e^{-\gamma w}$，$\gamma > 0$ 为常数绝对风险厌恶系数。
选择指数效用的关键原因是技术性的：它允许把财富变量从值函数中"因子化"出去，从而降维；而幂效用 $U(w) = w^\gamma/\gamma$ 在此模型下无法得到闭式解（作者明确指出）。
两只协整股票的价格服从（Duan & Pliska 2004 的扩散极限，历史测度下）：
$$ d\log S^1_t = \left(\mu_1 - \tfrac{1}{2}\sigma_1^2 + \delta z_t\right)dt + \sigma_1 dB^1_t, \qquad d\log S^2_t = \left(\mu_2 - \tfrac{1}{2}\sigma_2^2\right)dt + \sigma_2 dB^2_t $$
协整向量 $z_t = a + \log S^1_t + \beta \log S^2_t$ 均值回归：
$$ dz_t = \alpha(\eta - z_t)dt + \sigma_\beta dB_t, \quad \alpha = -\delta, \quad \sigma_\beta = \sqrt{\sigma_1^2 + \beta^2\sigma_2^2} $$
为简洁起见，协整项只出现在第一只股票的漂移中（可对称推广）；无风险利率设为零（这是能得到闭式解的关键简化）。参数可用 Engle–Granger 两步法 + ADF 检验估计，或用 Elliott et al. (2005) 的滤波方法。
财富过程（自融资）：$dW_t = \pi^1_t dS^1_t + \pi^2_t dS^2_t$。
值函数 $u(t,w,s_1,s_2) = \sup_{\pi^1,\pi^2}\mathbb{E}_{t,w,s_1,s_2}[U(W_T)]$ 满足 HJB 方程。论文做两次经典变量替换：
对 $g$ 的 HJB 取上确界，一阶条件直接给出最优控制的候选形式：
$$ \pi^_1 = \frac{(\mu_1+\delta z)g + \sigma_1^2 g_x}{s_1 \sigma_1^2 \gamma g}, \qquad \pi^_2 = \frac{\mu_2 g + \sigma_2^2 g_y}{s_2 \sigma_2^2 \gamma g} $$
代回后发现解本质上只依赖协整过程 $z$，而非两只股票各自的价格。引入 $X = \mu_1 + \delta z$ 并做对数变换 $\Phi(t,X) = -\log g$，非线性 PDE 化为一维线性抛物型方程：
$$ \Phi_t = -\frac{1}{2}\left(\frac{X^2}{\sigma_1^2} + \frac{\mu_2^2}{\sigma_2^2}\right) + \frac{1}{2}(\sigma_1^2+\beta^2\sigma_2^2)(\delta\Phi_X) - \frac{1}{2}(\sigma_1^2+\beta^2\sigma_2^2)(\delta^2\Phi_{XX}) $$
终值条件 $\Phi(T,X) = 0$。该方程有二次型显式解 $\Phi(t,X) = a(t)X^2 + b(t)X + c(t)$，其中
$$ a(t) = \frac{(T-t)}{2\sigma_1^2}, \quad b(t) = -\frac{(\sigma_1^2+\beta^2\sigma_2^2)\delta}{4\sigma_1^2}(T-t)^2 $$
$c(t)$ 为 $(T-t)$ 的多项式（论文式(19)）。
注：令 $\delta = 0$ 即退化为标准二维 Merton 问题——值函数与股票无关，两只股票的美元头寸为常数 $\mu_1/(\sigma_1^2\gamma)$ 与 $\mu_2/(\sigma_2^2\gamma)$。协整项 $\delta z$ 正是配对交易相对 Merton 的增量信息。
把 $a(t), b(t)$ 代回，得到以美元金额表示的最优头寸：
$$ \pi^*_1 s_1 = \frac{\mu_1+\delta z}{\gamma\sigma_1^2} - \frac{\delta(T-t)(\mu_1+\delta z)}{\gamma\sigma_1^2} + \frac{\delta^2(\sigma_1^2+\beta^2\sigma_2^2)}{4\gamma\sigma_1^2}(T-t)^2 $$
$$ \pi^*_2 s_2 = \frac{\mu_2}{\gamma\sigma_2^2} - \frac{\beta\delta(T-t)(\mu_1+\delta z)}{\gamma\sigma_2^2} + \frac{\beta\delta^2(\sigma_1^2+\beta^2\sigma_2^2)}{4\gamma\sigma_1^2}(T-t)^2 $$
论文第4节给出验证定理：候选解在参数满足以下条件时确为值函数、最优控制确为最优马尔可夫控制：
$$ |\delta|T < \frac{1}{3}\cdot\frac{\sigma_1^4}{\sigma_\beta^2\sigma_2^2\beta^2}, \qquad |\delta|T(1-|\delta|T) < \frac{1}{64}\cdot\frac{\sigma_1^2}{\sigma_\beta^2} $$
条件本质上是对期限上限的限制：$T$ 不能太大，否则指数效用下 OU 过程平方的指数可积性失效，无法保证一致可积。实务含义是该闭式解适用于日内到数日的短期限配对交易，而非长期持有——这与配对交易本来的短期限套利属性一致。
第5节把两只股票布朗运动的相关系数 $\rho$ 纳入模型，推导过程平行，最优头寸变为（论文式(27)(28)）：
$$ \pi^*_1 s_1 = \frac{(\mu_1+\delta z)}{\gamma(1-\rho^2)\sigma_1^2} - \frac{\rho\mu_2}{\gamma(1-\rho^2)\sigma_1\sigma_2} + \text{期限修正项} $$
相关性通过 $1/(1-\rho^2)$ 放大头寸——高度相关的股票对中， idiosyncratic 风险小，最优杠杆更高；同时出现 $-\rho\mu_2$ 的交叉对冲项。参数条件相应收紧（论文式(22)(23)）。
作者取 2011年10月17日纽交所 GS 与 JPM 的分钟数据（390个点），用 Engle–Granger 两步法 + ADF 检验（16阶滞后）确认5%水平协整，Phillips–Ouliaris 检验佐证。估计得年化参数：$\delta = -3561.19$（日内均值回归极快），$\rho = 0.61$，$\sigma_1 = 0.38, \sigma_2 = 0.51$。
取风险容忍 $\gamma = 0.1$，策略当日实现约 1348 美元利润（未计借券与交易成本）：开盘后迅速获利、日内波动但始终为正；头寸在上半日较大、下半日逐步平仓至接近零——期限效应（$(T-t)$ 项）驱动的日内减仓形态清晰可见。作者坦承这只是方法演示：未做实时协整检测、无样本外测试，参数按全天数据一次性校准。
解读人注：DOI 10.1016/j.jedc.2013.05.010；实证部分为单日样本内演示，不构成策略有效性证据。引用公式时请以原文为准。