论文：Ali Al-Aradi, Stochastic Optimal Control of Pairs Trading Strategies with Absolute and Relative Inventory Penalties, Department of Statistical Sciences, University of Toronto, 2015年8月（Sebastian Jaimungal 教授"应用随机控制：高频与算法交易"课程论文，未正式发表）。
本文把配对交易写成一个连续时间的随机最优控制问题：交易者在有限期限内连续买卖一对协整资产，面临线性瞬时价格冲击，目标是在两类"库存惩罚"约束下最大化期望终期收益。论文求出了三种情形下的最优交易速率——一类需数值求解、两类有闭式解，并用模拟系统研究了交易成本、清算成本、惩罚厌恶系数和均值回归速度对策略行为与损益分布的影响。
传统的配对交易多采用"阈值规则"：价差超过上阈值做空价差、跌破下阈值做多价差（即离散的开平仓信号）。这类规则易于执行，但无法回答：在价差偏离程度连续变化时，每一时刻应该以多快的速度交易？持仓已经很大时是否还应继续加仓？
Al-Aradi 把这些问题纳入随机控制框架：控制变量是两只资产的连续交易速率 $\alpha_t$（资产1，可正可负）和 $\beta_t$（资产2），状态变量是持仓 $q^1_t, q^2_t$、协整因子 $\varepsilon_t$ 与鞅成分 $\ell_t$。与阈值规则相比，控制框架的优势在于把交易成本、清算成本和风险偏好显式写进目标函数，最优速率自动在"追逐误定价"与"控制库存风险"之间权衡。
设两只资产价格为 $S^1_t, S^2_t$，协整因子取为"价格半价差" $\varepsilon_t = (S^1_t - S^2_t)/2$，服从 Ornstein–Uhlenbeck 过程：
$$ d\varepsilon_t = -\kappa \varepsilon_t dt + \sigma dW^1_t $$
另设鞅成分 $\ell_t = (S^1_t + S^2_t)/2$，$d\ell_t = \sigma dW^2_t$，其中 $W^1, W^2$ 为相关系数 $\rho$ 的标准布朗运动。于是
$$ S^1_t = \ell_t + \varepsilon_t, \qquad S^2_t = \ell_t - \varepsilon_t $$
$\varepsilon_t$ 即相对误定价的指示器：$\varepsilon_t > 0$ 时资产1相对高估、资产2相对低估，应做空资产1、做多资产2；反之亦然。注意该设定下协整因子的均值回归水平为零，长期中两资产价格收敛到同一水平；更一般的 $\varepsilon_t = AS^1_t + BS^2_t$ 形式不改变求解方法，文中为简洁起见略去。
持仓演化：$dq^1_t = \alpha_t dt$，$dq^2_t = \beta_t dt$。交易产生线性瞬时价格冲击，执行价为
$$ \hat{S}^1_t = S^1_t + a\alpha_t, \qquad \hat{S}^2_t = S^2_t + b\beta_t $$
其中 $a, b > 0$ 为冲击系数：买得越快成交价越不利。现金过程 $dX_t = -\hat{S}^1_t \alpha_t dt - \hat{S}^2_t \beta_t dt$，$X_0 = 0$。
交易者在期限 $T$ 最大化期望终期收益，目标函数为
$$ H^{\alpha,\beta}(t;\mathbf{q}) = \mathbb{E}_{t,\mathbf{q}}\left[X_T + (S^1_T - c|q^1_T|)q^1_T + (S^2_T - c|q^2_T|)q^2_T - \int_t^T \phi\left((q^1_s)^2+(q^2_s)^2\right)ds - \int_t^T \psi\left(q^1_s+q^2_s\right)^2 ds\right] $$
各项含义：
$\phi, \psi$ 为厌恶系数，取值越大对应惩罚越重。
值函数 $H(t;\mathbf{q}) = \sup_{\alpha,\beta} H^{\alpha,\beta}(t;\mathbf{q})$ 满足 Hamilton–Jacobi–Bellman 方程。对控制变量配方取上确界，可直接读出反馈形式的最优交易速率：
$$ \alpha^t = \frac{1}{2a}\left(\partial{q^1}H - (\ell_t+\varepsilon_t)\right), \qquad \beta^t = \frac{1}{2b}\left(\partial{q^2}H - (\ell_t-\varepsilon_t)\right) $$
直观含义：最优速率正比于"持仓的边际价值"与"当前基本价格"之差，再除以价格冲击系数——冲击越大（$a,b$ 大），交易越慢。
论文采用拟设 $H = (\ell+\varepsilon)q^1 + (\ell-\varepsilon)q^2 + h$，再设 $h$ 为持仓的二次型：
$$ h(t;\mathbf{q}) = f_2(t) (q^1)^2 + g_2(t) (q^2)^2 + f_1(t;\varepsilon) q^1 + g_1(t;\varepsilon) q^2 + u(t) q^1 q^2 + h_0(t;\varepsilon) $$
代入 HJB 后按 $q^1, q^2$ 的幂次逐项令系数为零，得到关于 $f_2, g_2, u, f_1, g_1$ 的耦合方程组。关键观察：$f_2, g_2, u$ 的方程不含 $\varepsilon$ 源项、终值条件也与 $\varepsilon$ 无关，故三者只依赖时间，退化为 ODE 组，可数值求解。
需求解耦合 ODE 组（论文式(20)(21)），只能数值求解。此时最优速率形如
$$ \alpha^t = -\frac{f_2}{a}q^1_t + \frac{f{11}}{2a}\varepsilon_t - \frac{u}{2a}q^2_t, \qquad \beta^t = -\frac{g_2}{b}q^2_t - \frac{g{11}}{2b}\varepsilon_t - \frac{u}{2b}q^1_t $$
注意交叉项 $-u q^2_t/(2a)$：资产1的交易速率依赖于资产2的持仓，这是相对库存惩罚的直接后果——为保持两腿量级相当、方向相反，一条腿的速率必须"看"另一条腿的库存。
去掉相对惩罚后，$f_2, g_2$ 的方程化为 Almgren–Chriss 最优执行问题的形式，可借用其已知解：
$$ f_2(t) = \sqrt{a\phi}\,\frac{1+\zeta e^{2\gamma(T-t)}}{1-\zeta e^{2\gamma(T-t)}}, \quad \gamma = \sqrt{\phi/a}, \quad \zeta = \frac{c-\sqrt{a\phi}}{c+\sqrt{a\phi}} $$
$g_2(t)$ 对称地定义。最优交易速率为
$$ \alpha^_t = -\frac{f_2(t)}{a}q^1_t + \frac{1}{2a}\,\omega(T-t;\kappa,\phi/a)\,\varepsilon_t, \qquad \beta^_t = -\frac{g_2(t)}{b}q^2_t - \frac{1}{2b}\,\omega(T-t;\kappa,\phi/b)\,\varepsilon_t $$
其中 $\omega$ 为显式指数函数（论文式(26)–(29)）。
此时 $f_2(t) = 1/(1/c + (T-t)/a)$，$g_2(t) = 1/(1/c + (T-t)/b)$（直接积分得到），$f_{11}, g_{11}$ 有显式指数表达式（论文式(32)–(35)，附录给出积分因子法的完整推导）。这是纯粹"追逐误定价、仅受交易与清算成本约束"的基准情形。
三种情形的最优速率有统一结构：基准交易项 + 库存调整项（情形1另有交叉调整项）：
论文图1展示了 HJB 解 $f_2, g_2, u, f_{11}, g_{11}$ 随时间的形态：三条曲线分别对应三种情形，惩罚越重，系数衰减越快（越接近到期越保守）。
论文以 $T=0.25$（3个月）、$S^1_0=25, S^2_0=20$、年化波动率23%/30%、相关系数约0.3、$\kappa=5$（半衰期约1.5个月）、$a=b=c=0.1$ 为基准，1000次模拟得到以下结论：
交易成本：提高资产1的冲击系数 $a$，资产1的交易量下降（符合直觉）；情形2、3中资产2的速率不受影响，但情形1中因交叉库存项，资产2的速率也轻微下降。无库存惩罚的情形3对交易成本最敏感——缺少惩罚约束的投资者"更在意"成本。
清算成本 $c$：$c$ 上升，两只资产的交易活跃度都下降（情形1、2降幅更大，因本身已有库存惩罚）；PnL 的夏普比率几乎不变（均值与标准差同比例下降），但分布左偏加剧、95% VaR 恶化。有库存惩罚时 95% VaR 显著低于无惩罚情形——小库存即低绝对风险。
绝对厌恶系数 $\phi$：$\phi$ 从0升至50，持仓与账面价值大幅压缩，PnL 分布区间急剧收窄，夏普比率从0.31升至0.78，95% VaR 从5.24降至0.41——$\phi$ 是驱动风险收益权衡的主导参数。
相对厌恶系数 $\psi$：$\psi$ 上升使两只资产的交易模式更对称，持仓与现金量级下降，但对 PnL 分布影响有限——风险主要由绝对惩罚决定。
均值回归速度 $\kappa$：半衰期越短（回归越快），交易者建仓越大且持有越久——误定价消失前必须下重注；无惩罚时这种加杠杆最激进，夏普比率恶化最严重。
一个反直觉但深刻的结论：最优交易速率不依赖于两只资产的波动率与相关系数（$\sigma, \rho$ 不出现在解中）。原因是交易者只关心"误定价有多大"（偏离均值的距离）和"缺口多快闭合"（回归速度），而不关心价格路径本身的波动——这与阈值规则只看价差偏离的直觉一致，但在控制框架下得到了严格证明。
解读人注：本文为课程论文，未经同行评审发表，数值结论基于特定参数下的模拟；引用其闭式解时请以原文公式为准。